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四年级奥数基础第四讲:数的整除(一)

来源:大连奥数网整理 2012-02-01 15:56:26

  四年级奥数基础第四讲:数的整除

  我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征。

  数的整除具有如下性质:

  性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。

  性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如,21与15都能被3整除,那么21+15及21-15都能被3整除。

  性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7=63整除。

  利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来:

  (1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除。

  (2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。

  (3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除。

  (4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。

  (5)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。

  (6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。

  其中(1)(2)(3)是三年级学过的内容,(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。

  因为100能被4(或25)整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4(或25)整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。这就证明了(4)。

  类似地可以证明(5)。(6)的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

  837=800+30+7

  =8×100+3×10+7

  =8×(99+1)+3×(9+1)+7

  =8×99+8+3×9+3+7

  =(8×99+3×9)+(8+3+7)。

  因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,(8x99+3x9)能被9整除。再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除,就能判断837能被9整除。

  利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数:

  (4')一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。

  (5')一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。

  (6')一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。

  例1 在下面的数中,哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?

  234,789,7756,8865,3728.8064。

  解:能被4整除的数有7756,3728,8064;

  能被8整除的数有3728,8064;

  能被9整除的数有234,8865,8064。

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