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四年级奥数基础第五讲:弃九法(2)

来源:大连奥数网整理 2012-02-01 16:05:35

  例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。

  分析与解:利用弃九法,将和为9的数依次划掉。

   

  只剩下7,6,1,5四个数,这时口算一下即可。口算知,7,6,5的和是9的倍数,又可划掉,只剩下1。所以这个多位数除以9余1。

  例2 将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少?

  分析与解:因为这个数太大,全部写出来很麻烦,在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数,所以要配合适当的分析。我们已经熟知

  1+2+3+…+9=45,

  而45是9的倍数,所以每一组1,2,3,…,9都可以划掉。在1~99这九十九个数中,个位数有十组1,2,3,…,9,都可划掉;十位数也有十组1,2,3,…,9,也都划掉。这样在这个大数中,除了0以外,只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。

  在上面的解法中,并没有计算出这个数各个数位上的数字和,而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同,所以题中这个数各个数位上的数字之和,与1+2+…+100除以9的余数相同。

  利用高斯求和法,知此和是5050。因为5050的数字和为5+0+5+0=10,利用弃九法,弃去一个9余1,故5050除以9余1。因此题中的数除以9余1。

  例3 检验下面的加法算式是否正确:

  2638457+3521983+6745785=12907225。

  分析与解:若干个加数的九余数相加,所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等,那么这个加法算式肯定不正确。上式中,三个加数的九余数依次为8,4,6,8+4+6的九余数为0;和的九余数为1。因为0≠1,所以这个算式不正确。

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