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四年级奥数基础第六讲:数的整除(二)

来源:大连奥数网整理 2012-02-02 16:20:37

  四年级奥数包括很多题型,为了帮助小学四年级的孩子学习奥数,大连奥数网整理了四年级奥数基础讲义。下面是四年级奥数基础第六讲:数的整除(二)。一起来学习吧!

  四年级奥数基础第六讲:数的整除(二)

  这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

  一个数从右边数起,第1,3,5,…位称为奇数位,第2,4,6,…位称为偶数位。也就是说,个位、百位、万位……是奇数位,十位、千位、十万位……是偶数位。例如9位数768325419中,奇数位与偶数位如下图所示:

   

  能被11整除的数的特征:一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大数减小数)如果能被11整除,那么这个数就能被11整除。

  例1 判断七位数1839673能否被11整除。

  分析与解:奇数位上的数字之和为1+3+6+3=13,偶数位上的数字之和为8+9+7=24,因为24-13=11能被11整除,所以1839673能被11整除。

  根据能被11整除的数的特征,也能求出一个数除以11的余数。

  一个数除以11的余数,与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和,那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍,使其大于偶数位上的数字之和。

  例2 求下列各数除以11的余数:

  (1)41873; (2)296738185。

  分析与解:(1)[(4+8+3)-(1+7)]÷11

  =7÷11=0……7,

  所以41873除以11的余数是7。

  (2)奇数位之和为2+6+3+1+5=17,偶数位之和为9+7+8+8=32。因为17<32,所以应给17增加11的整数倍,使其大于32。

  (17+11×2)-32=7,

  所以296738185除以11的余数是7。

  需要说明的是,当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时,为了计算方便,也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和,再除以11,所得余数与11的差即为所求。如上题(2)中,(32-17)÷11=1……4,所求余数是11-4=7。

  例3除以11的余数。

  分析与解:奇数位是101个1,偶数位是100个9。

  (9×100-1×101)÷11

  =799÷11=72……7,

  11-7=4,所求余数是4。

  例3还有其它简捷解法,例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1=8, 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11,能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。

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