四年级奥数基础第十九讲:乘法原理(2)
来源:大连奥数网整理 2012-02-07 17:16:34
例5 求360共有多少个不同的约数。
分析与解:先将360分解质因数,
360=2×2×2×3×3×5,
所以360的约数的质因数必然在2,3,5之中。为了确定360的所有不同的约数,我们分三步进行:
第1步确定约数中含有2的个数,可能是0,1,2,3个,即有4种可能;
第2步确定约数中含有3的个数,可能是0,1,2个,即有3种可能;
第3步确定约数中含有5的个数,可能没有,也可能有1个,即有2种可能。
根据乘法原理,360的不同约数共有
4×3×2=24(个)。
由例5得到:如果一个自然数N分解质因数后的形式为
其中P1,P2,…,Pl都是质数,n1,n2…,nl都是自然数,则N的所有约数的个数为:
(n1+1)×(n2+1)×…×(nl+1)。
利用上面的公式,可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。例如,11088=24×32×7×11,11088共有不同的约数
(4+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=60(个)。
例6 有10块糖,每天至少吃一块,吃完为止。问:共有多少种不同的吃法?
分析与解:将10块糖排成一排,糖与糖之间共有9个空。从头开始,如果相邻两块糖是分在两天吃的,那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃:第一天吃2块,第二天吃3块,第三天吃1块,第四天吃2块,第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能,根据乘法原理,不同的加线方法共有29=512(种)。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法,所以不同的吃法共有512种。
练习19
1.有五顶不同的帽子,两件不同的上衣,三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问:有多少种不同的装束?
2.四角号码字典,用4个数码表示一个汉字。小王自编一个“密码本”,用3个数码(可取重复数字)表示一个汉字,例如,用“011”代表汉字“车”。问:小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字?
3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”?
4.在下图的方格纸中放两枚棋子,要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问:共有多少种不同的放法?
5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个(不能同时评一个班),共有多少种不同的评选结果?
6.甲组有6人,乙组有8人,丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议,共有多少种不同选法?
7.用四种颜色给下图的五块区域染色,要求每块区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?