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四年级奥数基础第二十一讲:加法原理(二)

来源:大连奥数网整理 2012-02-16 12:01:46

  大连奥数网上次推出了四年级奥数基础:加法原理(一),今天继续推出第二十一讲:加法原理(二)。对奥数感兴趣的小朋友,一起来学习吧!

  四年级奥数基础第二十一讲:加法原理(二)

  我们通常解题,总是要先列出算式,然后求解。可是对有些题目来说,这样做不仅麻烦,而且有时根本就列不出算式。这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。

  例1小明要登上10级台阶,他每一步只能登1级或2级台阶,他登上10级台阶共有多少种不同的登法?

  分析与解:登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去,或者从平地跨2级上去,故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去,或者从第2级台阶上去,所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和,共有1+2=3(种)……一般地,登上第n级台阶,或者从第(n-1)级台阶跨一级上去,或者从第(n-2)级台阶跨两级上去。根据加法原理,如果登上第(n-1)级和第(n-2)级分别有a种和b种方法,则登上第n级有(a+b)种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法,就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第1级有1种方法,登上第2级有2种方法,可得出下面一串数:

  1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。

  其中从第三个数起,每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个,即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数(见下图)。

   

  例2在左下图中,从A点沿实线走最短路径到B点,共有多少条不同路线?

   

  分析与解:题目要求从左下向右上走,所以走到任一点,例如右上图中的D点,不是经过左边的E点,就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法(此处a=6),到F点有b种走法(此处b=4),根据加法原理,到D点就有(a+b)种走法(此处为6+4=10)。我们可以从左下角A点开始,按加法原理,依次向上、向右填上到各点的走法数(见右上图),最后得到共有35条不同路线。

  例3左下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点,其中经过C点和D点的不同路线共有多少条?

   

  分析与解:本题可以同例2一样从A标到B,也可以将从A到B分为三段,先是从A到C,再从C到D,最后从D到B。如右上图所示,从A到C有3种走法,从C到D有4种走法,从D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的,所以应该用乘法原理,不同的路线共有

  3×4×6=72(条)。

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