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四年级奥数基础第三十讲 抽屉原理(二)

来源:大连奥数网整理 2012-03-12 14:19:01

  四年级奥数基础第三十讲 抽屉原理(二)

  这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子:如果将13只鸽子放进6只鸽笼里,那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子,6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里,总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想,就是下面的抽屉原理2。

  抽屉原理2:将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

  说明这一原理是不难的。假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到(m+1)件,即每个抽屉里的物品都不多于m件,这样,n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。这与多于m×n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m+1。

  从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于(m+1)件,最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品,共放入(m×n)件物品,此时再放入1件物品,无论放入哪个抽屉,都至少有一个抽屉不少于(m+1)件物品。这就说明了抽屉原理2。

  不难看出,当m=1时,抽屉原理2就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。

  例1某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?

  分析与解:将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件,122=3×40+2。应用抽屉原理2,取n=40,m=3,立即知道:至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说,至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

  例2一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。问:一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?

  分析与解:将1,2,3,4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品,根据抽屉原理2,至少要有4×2+1=9(件)物品。所以一次至少要取出9块木块,才能保证其中有3块号码相同的木块。

  例3六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问:至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?

  分析与解:首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

  订一种杂志有:订甲、订乙、订丙3种情况;

  订二种杂志有:订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况;

  订三种杂志有:订甲乙丙1种情况。

  总共有3+3+1=7(种)订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。因为100=14×7+2。根据抽屉原理2,至少有14+1=15(人)所订阅的报刊种类是相同的。

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